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一、p=(2k)±1或 p=(4k)±3
二、(2p)- 1是质数（梅森质数）
三、[(2p)+ 1]/ 3是质数（瓦格斯塔夫质数）】
新梅森素数猜想有三个问题，三个问题息息相关，如果能证明其中两个，那么剩下的一个会自然成立。
在科学发展史上，梅森素数的寻找在手算笔录年代曾作为检测人类智力发展的一项重要指标。
就像如今的iq测试题目一样，能计算出来越多的梅森素数则代表这个人越聪明。
因为梅森素数虽然貌似简单，但当指数p值较大时，它的探究不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，还需要进行艰苦的计算。
最着名的，素有“数学上帝”之称的欧拉，在双目失明的情况下，靠心算证明了231-1是第8个梅森素数；
这个具有10位的素数（即2147483647），堪称当时世界上已知的最大素数。
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